\tolerance=10000
\documentstyle[12pt]{article}
\begin{document}
\vskip 2cm
\Large
\centerline {\bf PHYSICAL PHENOMENON}
\vskip 1cm
\centerline {$\Downarrow$}
\vskip 1cm
\centerline {\bf MATHEMATICAL MODEL }
\vskip 1cm
\centerline {$\Downarrow$}
\vskip 1cm
\centerline {\bf DISCRETE ALGEBRAIC APPROXIMATION }
\vskip 1cm
\centerline {$\Downarrow$}
\vskip 1cm
\centerline {\bf NUMERICAL ALGORITHMS }
\vskip 1cm
\centerline {$\Downarrow$}
\vskip 1cm
\centerline {\bf SIMULATION PROGRAM }
\vskip 1cm
\centerline {$\Downarrow$}
\vskip 1cm
\centerline {\bf COMPUTER EXPERIMENT }

\newpage 

\centerline {\bf SIMULACIONES NUMERICAS COSMOLOGICAS} 
\vskip 1cm
\centerline {\bf Motivaciones}
\vskip 1cm

-La {\bf GRAVITACION } es la interacci\'on dominate en la formaci\'on  
y evoluci\'on de objetos astron\'omicos. (c\'umulos estelares, galaxias
, c\'umulos de galaxias y la estructura en gran escala del Universo). \\

-En el contexto cosmol\'ogico es una maquinaria de hacer crecer perturbaciones. 
Evoluci\'on altamente no lineal.\\

-Desafortunadamente, no hay soluci\'on anal\'{\i}tica general con  $N > 2$.\\

-Simulaciones num\'ericas cosmol\'ogicas: algo asi como el laboratorio de la cosmologia\\

-Testeo de aproximaciones lineales (o de orden mayor) aproximaci\'on lineal de 
Zeldovich (1972), aproximaci\'on de segundo orden de Scoccimarro (1997), formalismo de Press-Schechter. \\

\newpage
{\bf RECETAS DE COCINA
PARA SIMULACIONES N-CUERPOS COSMOLOGICAS}\\
\vskip 1cm

-softening  grande  para 
minimizar el {\it two-body relaxation}. \\

-paso de tiempo peque\~no para 
eliminar el {\it two-body scattering }  
de los errores de integraci\'on $\Delta t < 0.1 (G \rho)^{-1/2}$\\

-errores en las fuerzas  menores que el 0.5 \%.\\

-integrador de segundo orden y reversible temporalmente.\\

-volumen grande para modelizar todos los efectos no-lineales.
Los filamentos afectan la evoluci\'on de los objetos mas peque~nos).\\

- redshift inicial grande para
que todas las escalas representadas esten aun en su regimen lineal.
\newpage


\centerline {\bf N-CUERPOS}

\vskip 1cm
La ley de Newton para una distribuci\'on discreta de $N_P$ part\'{\i}culas es:

\begin{equation}
{\bf F}_i = - G \sum_{i \ne j=1}^{N_p} \frac{{\bf r}_i- {\bf r}_j}{|{\bf r}_i-{\bf r}_j|^3} m_j 
\end{equation}

definiendo

\begin{equation}
\Phi_i = - G \sum_{i \ne j=1}^{N_p} \frac{m_j}{|{\bf r}_i-{\bf r}_j|}  
\end{equation}

se tiene que

\begin{equation}
{\bf F}_i=-{\bf \nabla} \Phi_i   
\end{equation}


\begin {equation}
{\bf F}_{ij}=-{\bf F}_{ji}   
\end{equation}

\begin {equation}
{\bf F}_{ii}=0
\end{equation}

$softening$
\begin{equation}
{\bf F}_i = - G \sum_{i \ne j=1}^{N_p} \frac{{\bf r}_i- {\bf r}_j}{(\epsilon ^2+|{\bf r}_i-{\bf r}_j|^2)^{3/2}} m_j 
\end{equation}

\newpage

Para una distribuci\'on continua:
\begin{equation}
\Phi({\bf r}) = - G \int \frac{\rho({\bf r}')}{|{\bf r}-{\bf r}'|}  dV'
\end{equation}


aplicando la Transformada de Fourier 

\begin{equation}
\stackrel {\sim} {f}({\bf k}) = \int f({\bf r}) e^{-i{\bf k}.{\bf r}} dV
\end{equation}

a ambos miembros y aplicando el teorema de convoluci\'on

\begin{equation}
\stackrel {\sim} {\Phi}({\bf k}) = \stackrel {\sim} {\rho}({\bf k}) \stackrel {\sim} {F}({\bf k})
\end{equation}
donde 

\begin {equation}
F(|{\bf r}-{\bf r}'|)=-\frac{G}{|{\bf r}-{\bf r}'|}
\end {equation}

es la funci\'on de Green

\begin {equation}
k_{max}=\frac{2\pi}{\lambda_{min}}=\frac{2\pi}{2\lambda_{grid}}=\frac{2\pi}{L}
\frac{N}{2}
\end {equation}

\begin {equation}
k_{min}=\frac{2\pi}{\lambda_{max}}=\frac{2\pi}{L}
\end {equation}\\


\newpage
\centerline{\bf ESQUEMA PARTICLE MESH}
\vskip 1cm

1) Asignaci\'on de masas de las part\'{\i}culas a los nodos del grid $\rightarrow \rho$ (NGP, CIC, TSC)

\begin{equation}
\rho({\bf r}_p)=\sum _{i=1}^{N_p} m_i W({\bf r}_i-{\bf r}_p)
\end{equation}

2) Soluci\'on de la ecuaci\'on de Poisson $\nabla^2 \phi =4 \pi G \rho$ en los nodos: 

unidimensional

\begin{equation}
\frac{\phi_{p-1}-2\phi_{p}+\phi_{p+1}}{H^2} = \rho _{p}
\end{equation}

o 

\centerline{\bf FFT}

3) C\'omputo de la fuerza en los nodos a partir del potencial por diferencias finitas
\begin{equation}
{\bf f}_p =\frac{\phi_{p-1}-\phi_{p+1}}{H}
\end{equation}
 

4) Interpolaci\'on de la fuerza en los nodos a las posiciones de las part\'{\i}culas \\
 
\begin{equation}
{\bf f}_i=\sum _{i=1}^{N_g} {\bf f}_p W({\bf r}_i-{\bf r}_p)
\end{equation}

5) Integrar la ecuaciones de movimiento

\begin{equation} 
{\bf v}^{n+1/2}={\bf v}^{n-1/2}+{\bf f}^{n} \Delta t
\end{equation}

\begin{equation} 
{\bf r}^{n+1}={\bf r}^{n}+{\bf v}^{n+1/2} \Delta t
\end{equation}

\newpage
\centerline{\bf TECNICAS DE N-CUERPOS}
\vskip 1cm

{\bf -particle-particle}:

suma directa particulas. 

el CPU-time escala como N(N-1) 

Fuerzas de rango corto y largo

pasos de tiempo individuales

 softening 

No hay hip\'otesis sobre la geometr\'{\i}a del sistema 
 

\vskip 1cm
{\bf -tree code}: 

promedia part\'{\i}culas lejans como un solo objeto en el centro de masa. 

M\'as dificil programaci\'on 

N log(N)

no hay condiciones de contorno 

softening

\vskip 1cm
{\bf -particle-mesh}:

mas eficiente para N grandes 

el tiempo de CPU 

\newpage
{\bf -particle-particle-particle-mesh}: P$^3$M

es un PP+PM

La parte PP es una correcci\'on a las fuerzas de escalas grandes computadas por un PM.

La parte PP se vuelve muy costosa cuando se desarrolla el clustering


\vskip 1cm
{\bf -adaptative particle-particle-particle-mesh}: AP$^3$M
refinamiento de los grids en las zonas de alta densidad

\vskip 1cm
{\bf -expansi\'on de potencial}:

pura, arm\'onicos esf\'ericos, centros dobles

expansi\'on truncada de la distribuci\'on  de densidad en algunas funciones base

falta de flexibilidad. 

\newpage

\centerline {\bf LIMITES DE RESOLUCION}


{\bf fuerza}
Depende del {\it softening} y determina la 
la escala espacial m\'as peque\~na donde los resultados son confiables.

{\bf masa}
Depende de la masa por part\'{\i}cula y determina los tama\~nos de 
los objetos que podr\'an ser analizados.

{\bf tiempo}
Depende del paso de integraci\'on y debe ir de acuerdo con la resoluci\'on
de la fuerza. Mayor resoluci\'in en la fuerza mayor resoluci\'on temporal.\\\\

\centerline {\bf TEST DE SIMULACIONES}

-comparaci\'on con soluciones anal\'{\i}ticas de la teor\'{\i}a lineal de
perturbaciones y de orden mayor\\

-colapso esf\'erico\\

-resultados de simulaciones free-scale\\

-comparaciones de resultados de diferentes c\'odigos\\

-Estabilidad de los c\'odigos individualmente, convergencia de los
resultados con el paso de tiempo, n\'umero de part\'{\i}culas, 
tama\~no del sistema, resoluci\'on de la fuerza.

\newpage


\centerline {\bf COORDENADAS COMOVILES}


\begin{equation}
\stackrel {\sim} {\bf r}  =  {\bf r} / a
\end{equation}

$a(t) \equiv $ factor de expansi\'on   $\sim t^{2/3}$

\begin{equation}
{\bf v}  =  \dot {a} \stackrel {\sim} {\bf r} + a \stackrel {\sim} {\bf v}={\bf v}_{H} + {\bf v}_{P}
\end{equation}

\begin{equation}
\dot {\bf v}  = \stackrel{..}{a} {\bf r}+2 \dot {a} \stackrel{\sim}{\bf v} + a \dot {\stackrel {\sim}{\bf v}}=-{\bf \nabla} \Phi
\end{equation}


\begin{equation}
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\frac {\partial \Phi}{\partial \stackrel {\sim}{x}} \frac{\partial \stackrel{\sim}{x}}{\partial x}=\frac{\partial \Phi}{\partial \stackrel{\sim}{x}} \frac{1}{a} 
\end{equation}

luego
\begin{equation}
{\bf \nabla} \Phi = \stackrel {\sim} {\bf \nabla } \Phi /a
\end{equation}
definiendo

\begin {equation}
\stackrel {\sim}{\Phi} = a \Phi + \frac{1}{2} a^2 \stackrel{..}{a} \stackrel{\sim}{r}^2
\end {equation}

\begin {equation}
2 \frac{\dot a}{a} \stackrel {\sim}{\bf v} + \dot {\stackrel{\sim}{\bf v}} =- \stackrel{\sim}{\bf \nabla}{\stackrel {\sim}{\Phi}}
\end {equation}

\newpage

\centerline {\bf ECUACION DE POISSON }

\centerline {\bf EN COORDENADAS COMOVILES}
\vskip 1cm

\begin{equation}
{\bf \nabla} ^2 \Phi = 4 \pi G \rho 
\end{equation}


\begin{equation}
{\bf \nabla} ^2  =  \stackrel {\sim} {\bf \nabla} ^2 /a^2
\end{equation}


\begin{equation}
\stackrel {\sim} {\bf \nabla} ^2 \stackrel{\sim}{\Phi}= a^3 {\bf \nabla}^2 {\Phi} +3 a^2 \stackrel {..}{a}
\end{equation}

y como 

\begin {equation}
\stackrel {..}{a} = - G  M  /a^2 = - \frac{4}{3} \pi G a \rho_b 
\end{equation}


\begin{equation}
\stackrel {\sim} {\bf \nabla}^2  \stackrel{\sim}{\Phi}= 4 \pi G (\stackrel{\sim}{\rho} -\stackrel{\sim}{\rho}_b)
\end{equation}


\newpage

\centerline{\bf GENERACION DE CONDICIONES INICIALES}
\vskip 1cm
\centerline{\bf Aproximaci\'on de Zeldovich}
\vskip 1cm
Es un m\'etodo lineal anal\'{\i}tico

\begin{equation}
{\bf r} = a(t)({\bf q } - b(t) {\bf \Psi}({\bf q}))
\end{equation}


\begin{equation}
{\bf v} = \frac {\dot a }{a} {\bf r} -a \dot b {\bf \Psi}
\end{equation}

en la aproximaci\'on lineal

\begin{equation}
\delta = {\bf \nabla} . {\bf \Psi}
\end{equation}

donde

\begin{equation}
\delta({\bf q})=\frac {\rho({\bf q})-\rho_b}{\rho_b}= \sum \delta_{\bf k} e^{i {\bf k}.{\bf q}}
\end{equation}

con

\begin{equation}
P(k)=<|\delta_{\bf k}|^2>
\end{equation}
\newpage
\centerline{\bf SIMULACIONES COSMOLOGICAS HIDRODINAMICAS}

\centerline {\bf Motivaciones}

-La gravitaci\'on describe correctamente solamente el comportamiento de la materia oscura. 

-Simulaciones $\rightarrow$ materia oscura

-Observaciones  $\rightarrow$ bariones

-La gravitaci\'on NO describe cuando y donde se forman las galaxias.

-En peque\~na escala ( $<$ 5Mpc) los efectos del gas son dominantes.

-Las simulaciones deben incluir una descripci\'on "adecuada" del gas.

-Testear si los modelos producen galaxias y sistemas de galaxias real\'{\i}sticas.

-Correlaci\'on entre la distribuci\'on de materia oscura y las galaxias (par\'ametro de $biasing$ como funci\'on de la escala)

-Formaci\'on y evoluci\'on de galaxias y sistemas de galaxias

-X-Rays y efecto Sunayev-Zeldovich

-Propiedades de absorci\'on del IGM (Ly $\alpha$ forest)

\newpage

\centerline{\bf DIFERENCIAS ENTRE GAS Y MATERIA OSCURA}
\vskip 1cm

-El gas NO se interpenetra como la materia oscura en una colisi\'on\\

-Las ondas de choque transforman su energ\'{\i}a cin\'etica en energ\'{\i}a t\'ermica\\

-La ecuaci\'on de movimiento incluye gradiente de presi\'on\\

-Pierde energia por enfriamiento radiativo\\

-Puede convertirse en estrellas

\newpage


\centerline{\bf ECUACIONES PARA EL GAS}
\vskip 1cm

\begin{equation}
\frac{d {\bf v}}{ d t} = - {\bf \nabla}{\Phi} - \frac{{\bf \nabla }{\Phi}}{\rho}
\end{equation}

donde 

\begin{equation}
P=P+P_{vis}
\end{equation}

\begin{equation}
P=(\gamma-1) \rho \epsilon   \; \; (\gamma=5/3)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\partial \rho}{\partial t} = - {\bf \nabla} . (\rho {\bf v})
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\partial \epsilon}{\partial t} = - \frac {P}{\rho}  {\bf \nabla} . {\bf v}+ \frac{\Lambda(\epsilon,\rho)}{\rho}
\end{equation}

\newpage 

\centerline{\bf METODOS COMPUTACIONALES}
\vskip 1cm

-{\bf M\'etodo Euleriano}:
 
Resuelve las ecuaciones del gas en un grid fijo por diferencias finitas.

Puede incluir diferente n\'umero de celdas en las regiones de alta densidad.

\vskip 1cm
-{\bf M\'etodo Lagrangiano}:

Utiliza generalmente el algoritmo SPH (Smoothd Particle Hydrodynamics)

Se representa un elemento de fluido por part\'{\i}culas que llevan informaci\'on
din\'amica (${\bf r} , {\bf v}$) y t\'ermica  ($ \rho, T, P $). Elimina la necesidad de un grid. 

Se computan la densidad y gradientes de presi\'on por sumas suavizadas sobre
las parti\'{\i}culas vecinas.

Usa viscosidad artificial para evitar la interpenetraci\'on de part\'{\i}culas.

La longitud de suvizado escala con la densidad, mayor resoluci\'on en las zonas 
de alta densidad.
\newpage
.
\vskip 2cm
\begin{equation}
\rho = \sum m_i W(r_i/h)
\end{equation}

\begin{equation}
{\bf \nabla} P = \sum P_i {\bf \nabla} W(r_i/h)
\end{equation}

$W(r/h) \equiv $ kernel interpolatorio esf\'erico.

funci\'on derivable con un m\'aximo en $r=0$ y un decaimiento r\'apido.
No es necesario tomar la contribuci\'on de todos los vecinos (N $>$ 30 ).

Shapiro et al. (1996) propone un kernel asim\'etrico.
\newpage


\centerline{\bf GRAVITACION + HIDRODINAMICA}
\vskip 1cm

\centerline {\bf PP+SPH}  (implementaci\'on paralela)\\

\centerline {\bf TREE+SPH} (Hernquist \& Katz, Steinmetz 1996, Navarro \& White 1993) \\

\centerline {\bf  HPM+SPH} ( Shapiro et al. 1996)\\

\centerline {\bf P$^3$M+SPH} (Evrard 1988)\\

\centerline {\bf AP$^3$M+SPH} (Couchman et al. 1995, Tissera, Lambas \& Abadi 1997)

\newpage

\centerline {\bf CONSIDERACIONES NUMERICAS}

-El paso de tiempo debe satisfacer la condici\'on de Courant
$\Delta t < 0.3 h/c $ donde $h$ es la longitud se suavizado y
$c^2 \equiv \frac{\partial P}{\partial \rho} = (\gamma -1) \epsilon$\\

-La resoluci\'on espacial y temporal est\'an estan ligadas.
En general se usa un m\'{\i}nimo $\Delta t$ entonces hay que agrandar $h$\\

-El $cooling$ es muy problem\'atico, porque el tiempo de cooling puede ser muy peque\~no 
\begin{equation}
t_{cool}=\frac{\epsilon}{\Lambda} << t_{dyn}= (G\rho)^{-1/2}
\end{equation}


\centerline{\bf TESTS DE SIMULACIONES HIDRODINAMICAS}

-Colapso esf\'erico con soluciones de autosimilaridad , Bertschinger (1989). 
 Habilidad de reproducir correctamente los $shocks$\\

-Idem + $cooling$ autosimilar (Abadi, Bower \& Navarro, 1998)\\

-Tests de convergencia de los c\'odigos individuales y entre ellos (Frenk et al. 1998 comparaci\'on de la formaci\'on de un c\'umulo de galaxias con diferentes
c\'odigos )\\

\newpage

\centerline {\bf FORMACION ESTELAR}
\vskip 1cm

-Parte fundamental y cr\'{\i}tica ya que determina  la estructura de las
"galaxias" que se forman en una simulaci\'on.\\

-Una regi\'on forma estrellas si:\\

es un sistema colapsante ${\bf \nabla}.{\bf v} < 0$\\

la presi\'on no puede soportar a la gravitaci\'on $(T_{sound} > T_{dyn})$
Inestabilidad de Jeans\\

se enfria r\'apidamente y se mantiene fr\'{\i}a a medida que colapsa 
$T_{cool}<<T_{dyn}$\\

-Por la forma de la funci\'on de $cooling$ las condiciones anteriores se satisfacen con un criterio de densidad
simple $\rho > \rho_{crit} \simeq  7 \times 10^{-26} g \; cm^{-3}$\\

-Tasa de formaci\'on estelar $-\dot \rho_{gas} = \dot \rho_{star} = \rho_{gas}/t_{\star}$ con $t_{\star}$ escala de tiempo caracter\'{\i}stica\\

\newpage

-La masa de las estrellas estan distribuidas por la IMF. \\\\

-$Feedback$: como las explosiones de supernova afectan al medio. La energia
se inyecta al gas que la rodea como energia cin\'etica y/o t\'ermica. (Extremadamente incierto). Puede suprimir la formaci\'on estelar de halos peque\~nos $V_c < 100 km/s$.

\newpage

\centerline {Bibliografia}

-Hockney \& Eastwood, Computer Simulations Using Particles 1981

-Efstathiou G., Davis M., Frenk C.S. \& White S.D.M., Numerical Techniques for Large Cosmological N-Body Simulations, ApJS 57, 241 1985

-Katz N., Weinberg D. \& Hernquist L., Cosmological Simulations with TreeSPH, ApJ Supp, 105, 19.  astroph/9509107 1996

-Merch\'an, M., Trabajo Especial, Facultad de Matem\'atica Astronom\'{\i}a y F\'{\i}sica, Universidad Nacional de C\'ordoba, 1995 

-Steinmetz M., Simulating Galaxy Formation, astro-ph/9512013, 1996

-Yepes G., From Quantum Fluctuations to Cosmological Structures, ASP Conference Series, 126, 279, 1997

- Weinberg D.,Katz N., \& Hernquist L., Simulating Cosmic Structure Formation astro-ph/9708213, 1997

UW HPCC/ESS Project 

http://www-hpcc.astro.washington.edu/

Grand Challenge Cosmology Consortium 

http://zeus.ncsa.uiuc.edu:8080/GC3\_Home\_Page.html  

The Virgo Consortium

http://star-www.dur.ac.uk/~frazerp/virgo/virgo.html
\end{document}
